Lös (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Lös ut y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dela -3+\sqrt{29} med -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{29} från -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dela -3-\sqrt{29} med -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Dela -5 med -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Addera 5 till \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktorisera y^{2}-3y+\frac{9}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$