Lös (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Lös ut x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Lösningssteg

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -4 med b och -3 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste x-\left(\sqrt{7}+2\right) och x-\left(2-\sqrt{7}\right) ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när x-\left(\sqrt{7}+2\right) och x-\left(2-\sqrt{7}\right) är ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Tänk på när x-\left(\sqrt{7}+2\right) och x-\left(2-\sqrt{7}\right) är ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$