Lös (x-1)^2<3

$$( x - 1 ) ^ { 2 } < 3$$

Lös ut x

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Lösningssteg

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -2 med b och -2 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{3}\right)\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\left(\sqrt{3}+1\right) och x-\left(1-\sqrt{3}\right) måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\left(\sqrt{3}+1\right) är positivt och x-\left(1-\sqrt{3}\right) är negativt.

$$x-\left(\sqrt{3}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{3}\right)<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\left(1-\sqrt{3}\right) är positivt och x-\left(\sqrt{3}+1\right) är negativt.

$$x-\left(1-\sqrt{3}\right)>0 x-\left(\sqrt{3}+1\right)<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$