Lös (9x^2-16)-(3x-4)(2-5x)<0

$$( 9 x ^ { 2 } - 16 ) - ( 3 x - 4 ) ( 2 - 5 x ) < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x-4 med 2-5x och slå ihop lika termer.

$$9x^{2}-16-\left(26x-15x^{2}-8\right)<0$$

Hitta motsatsen till 26x-15x^{2}-8 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$9x^{2}-16-26x+15x^{2}+8<0$$

Slå ihop 9x^{2} och 15x^{2} för att få 24x^{2}.

$$24x^{2}-16-26x+8<0$$

Addera -16 och 8 för att få -8.

$$24x^{2}-8-26x<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-8-26x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 24 med a, -26 med b och -8 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{26±38}{48}$$

Lös ekvationen x=\frac{26±38}{48} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{1}{4}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{4}{3} och x+\frac{1}{4} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{4}{3} är positivt och x+\frac{1}{4} är negativt.

$$x-\frac{4}{3}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x+\frac{1}{4} är positivt och x-\frac{4}{3} är negativt.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{4}{3}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$