Lös (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Addera 81 och 162 för att få 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Slå ihop -90x och -180x för att få -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Slå ihop 25x^{2} och 50x^{2} för att få 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Subtrahera 24 från 243 för att få 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 75 med a, -270 med b och 219 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Lös ekvationen x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} och x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} är positivt och x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} är negativt.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} är positivt och x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} är negativt.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$