Lös (76-4x)(8+2x)=1080

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7,5-1,658312395i$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 76-4x med 8+2x och slå ihop lika termer.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Subtrahera 1080 från båda led.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

Subtrahera 1080 från 608 för att få -472.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -8, b med 120 och c med -472 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrera 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicera -4 med -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicera 32 med -472.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

Addera 14400 till -15104.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

Dra kvadratroten ur -704.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicera 2 med -8.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} när ± är plus. Addera -120 till 8i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

Dela -120+8i\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} när ± är minus. Subtrahera 8i\sqrt{11} från -120.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

Dela -120-8i\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 76-4x med 8+2x och slå ihop lika termer.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Subtrahera 608 från båda led.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

Subtrahera 608 från 1080 för att få 472.

$$120x-8x^{2}=472$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=472$$

Dividera båda led med -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

Division med -8 tar ut multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

Dela 120 med -8.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

Dela 472 med -8.

$$x^{2}-15x=-59$$

Dividera -15, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

Addera -59 till \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktorisera x^{2}-15x+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Addera \frac{15}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$