Lös (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Överväg \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utveckla \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Hitta motsatsen till 4x^{2}-1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Slå ihop 25x^{2} och -4x^{2} för att få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addera 4 och 1 för att få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahera 47 från båda led.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtrahera 47 från 5 för att få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtrahera x från båda led.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Slå ihop -20x och -x för att få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Dividera båda led med 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-2 b=1$$

Skriv om x^{2}-x-2 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Bryt ut x i x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Bryt ut den gemensamma termen x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Lös x-2=0 och x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=2 x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Överväg \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utveckla \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Hitta motsatsen till 4x^{2}-1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Slå ihop 25x^{2} och -4x^{2} för att få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addera 4 och 1 för att få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahera 47 från båda led.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtrahera 47 från 5 för att få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtrahera x från båda led.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Slå ihop -20x och -x för att få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 21, b med -21 och c med -42 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Kvadrera -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicera -4 med 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicera -84 med -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Addera 441 till 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Dra kvadratroten ur 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Motsatsen till -21 är 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplicera 2 med 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±63}{42} när ± är plus. Addera 21 till 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Dela 84 med 42.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±63}{42} när ± är minus. Subtrahera 63 från 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Dela -42 med 42.

$$x=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Överväg \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utveckla \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Hitta motsatsen till 4x^{2}-1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Slå ihop 25x^{2} och -4x^{2} för att få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addera 4 och 1 för att få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahera x från båda led.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Slå ihop -20x och -x för att få -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Subtrahera 5 från 47 för att få 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Dividera båda led med 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Division med 21 tar ut multiplikationen med 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Dela -21 med 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Dela 42 med 21.

$$x^{2}-x=2$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addera 2 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=2 x=-1$$