Lös (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x-5 med x+2 och slå ihop lika termer.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Slå ihop 3x^{2} och -x^{2} för att få 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, 1 med b och -10 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{-1±9}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-2 och x+\frac{5}{2} ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-2\geq 0 och x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-2\leq 0 och x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$