Lös (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Lös ut x

$$x=8$$

$$x=15$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Slå ihop x^{2} och x^{2} för att få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beräkna 17 upphöjt till 2 och få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahera 289 från båda led.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtrahera 289 från 529 för att få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Dividera båda led med 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$x^{2}-23x+120=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx+120. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Lösningen är det par som ger Summa -23.

$$a=-15 b=-8$$

Skriv om x^{2}-23x+120 som \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Utfaktor x i den första och den -8 i den andra gruppen.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Lös x-15=0 och x-8=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=15 x=8$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Slå ihop x^{2} och x^{2} för att få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beräkna 17 upphöjt till 2 och få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahera 289 från båda led.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtrahera 289 från 529 för att få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -46 och c med 240 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kvadrera -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Addera 2116 till -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Motsatsen till -46 är 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{46±14}{4} när ± är plus. Addera 46 till 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Dela 60 med 4.

$$x=15$$

Lös nu ekvationen x=\frac{46±14}{4} när ± är minus. Subtrahera 14 från 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dela 32 med 4.

$$x=8$$

Ekvationen har lösts.

$$x=15 x=8$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Slå ihop x^{2} och x^{2} för att få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beräkna 17 upphöjt till 2 och få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahera 529 från båda led.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Subtrahera 529 från 289 för att få -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Dela -46 med 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Dela -240 med 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Dividera -23, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{23}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{23}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{23}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Addera -120 till \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktorisera x^{2}-23x+\frac{529}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Addera \frac{23}{2} till båda ekvationsled.

$$x=15 x=8$$