Lös (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Faktorisera

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Lösningssteg

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som -10x^{2}+ax+bx+22. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 51.

$$a=55 b=-4$$

Skriv om -10x^{2}+51x+22 som \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Utfaktor -5x i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-11 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrera 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicera -4 med -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicera 40 med 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Addera 2601 till 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Dra kvadratroten ur 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicera 2 med -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-51±59}{-20} när ± är plus. Addera -51 till 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Minska bråktalet \frac{8}{-20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-51±59}{-20} när ± är minus. Subtrahera 59 från -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Minska bråktalet \frac{-110}{-20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{2}{5} och x_{2} med \frac{11}{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Addera \frac{2}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Subtrahera \frac{11}{2} från x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplicera \frac{-5x-2}{-5} med \frac{-2x+11}{-2} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplicera -5 med -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 10 i -10 och 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Beräkna

$$22+51x-10x^{2}$$