Lös (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Hitta motsatsen till x^{2}+10x+25 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Slå ihop 4x^{2} och -x^{2} för att få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Slå ihop -12x och -10x för att få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahera 25 från 9 för att få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lägg till 23 på båda sidorna.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Addera -16 och 23 för att få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx+7. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Lösningen är det par som ger Summa -22.

$$a=-21 b=-1$$

Skriv om 3x^{2}-22x+7 som \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Lös x-7=0 och 3x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Hitta motsatsen till x^{2}+10x+25 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Slå ihop 4x^{2} och -x^{2} för att få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Slå ihop -12x och -10x för att få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahera 25 från 9 för att få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lägg till 23 på båda sidorna.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Addera -16 och 23 för att få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -22 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrera -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Addera 484 till -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Motsatsen till -22 är 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{22±20}{6} när ± är plus. Addera 22 till 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dela 42 med 6.

$$x=7$$

Lös nu ekvationen x=\frac{22±20}{6} när ± är minus. Subtrahera 20 från 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Minska bråktalet \frac{2}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Hitta motsatsen till x^{2}+10x+25 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Slå ihop 4x^{2} och -x^{2} för att få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Slå ihop -12x och -10x för att få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahera 25 från 9 för att få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lägg till 16 på båda sidorna.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Addera -23 och 16 för att få -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Dividera -\frac{22}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Addera -\frac{7}{3} till \frac{121}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Addera \frac{11}{3} till båda ekvationsled.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$