Lös (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Lös ut x

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Steg med lösningsformeln

Utveckla \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -12 med x+1.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 4 med a, -12 med b och -12 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Lös ekvationen x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} och x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} och x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} är ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Tänk på när x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} och x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} är ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$