Lös (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Hitta motsatsen till 9x^{2}-12x+4 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Slå ihop -9x^{2} och -40x^{2} för att få -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Lägg till 205 på båda sidorna.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Addera -4 och 205 för att få 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -5x med 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -35x+15x^{2} med 7+3x och slå ihop lika termer.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Slå ihop 16x och -245x för att få -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Slå ihop 4x^{2} och -49x^{2} för att få -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Slå ihop -229x och 12x för att få -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Addera 16 och 201 för att få 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Skriv om ekvationen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Av rationella rot Binomialsatsen är alla rationella rötter till en polynom i form \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten 217 och q delar upp den inledande koefficienten 45. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=1$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 med x-1 för att få 45x^{2}-217. Lös ekvationen där resultatet är lika med 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 45 med a, 0 med b och -217 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Lös ekvationen 45x^{2}-217=0 när ± är plus och när ± är minus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Visa alla lösningar som hittades.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$