Lös (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Lös ut x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-4 med x+40 och slå ihop lika termer.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop 3x^{2} och x^{2} för att få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop -32x och 36x för att få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahera 160 från -48 för att få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahera 2x^{3} från båda led.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Slå ihop 2x^{3} och -2x^{3} för att få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lägg till 32x på båda sidorna.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Slå ihop 4x och 32x för att få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lägg till 8x^{2} på båda sidorna.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Slå ihop 4x^{2} och 8x^{2} för att få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtrahera 128 från båda led.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtrahera 128 från -208 för att få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Dividera båda led med 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$x^{2}+3x-28=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-28. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=-4 b=7$$

Skriv om x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Utfaktor x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Lös x-4=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=4 x=-7$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-4 med x+40 och slå ihop lika termer.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop 3x^{2} och x^{2} för att få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop -32x och 36x för att få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahera 160 från -48 för att få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahera 2x^{3} från båda led.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Slå ihop 2x^{3} och -2x^{3} för att få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lägg till 32x på båda sidorna.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Slå ihop 4x och 32x för att få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lägg till 8x^{2} på båda sidorna.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Slå ihop 4x^{2} och 8x^{2} för att få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtrahera 128 från båda led.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtrahera 128 från -208 för att få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med 36 och c med -336 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Addera 1296 till 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-36±132}{24} när ± är plus. Addera -36 till 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Dela 96 med 24.

$$x=4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-36±132}{24} när ± är minus. Subtrahera 132 från -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Dela -168 med 24.

$$x=-7$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4 x=-7$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-4 med x+40 och slå ihop lika termer.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop 3x^{2} och x^{2} för att få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Slå ihop -32x och 36x för att få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahera 160 från -48 för att få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahera 2x^{3} från båda led.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Slå ihop 2x^{3} och -2x^{3} för att få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lägg till 32x på båda sidorna.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Slå ihop 4x och 32x för att få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lägg till 8x^{2} på båda sidorna.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Slå ihop 4x^{2} och 8x^{2} för att få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Lägg till 208 på båda sidorna.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Addera 128 och 208 för att få 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Dela 36 med 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Dela 336 med 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addera 28 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=4 x=-7$$