Lös (-700-42k)^2-4(490)(300+k^2+20k)=0

$$( - 700 - 42 k ) ^ { 2 } - 4 ( 490 ) ( 300 + k ^ { 2 } + 20 k ) = 0$$

Lös ut k

$$k=20\sqrt{5}+50\approx 94,72135955$$

$$k=50-20\sqrt{5}\approx 5,27864045$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(-700-42k\right)^{2}.

$$490000+58800k+1764k^{2}-4\times 490\left(300+k^{2}+20k\right)=0$$

Multiplicera 4 och 490 för att få 1960.

$$490000+58800k+1764k^{2}-1960\left(300+k^{2}+20k\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -1960 med 300+k^{2}+20k.

$$490000+58800k+1764k^{2}-588000-1960k^{2}-39200k=0$$

Subtrahera 588000 från 490000 för att få -98000.

$$-98000+58800k+1764k^{2}-1960k^{2}-39200k=0$$

Slå ihop 1764k^{2} och -1960k^{2} för att få -196k^{2}.

$$-98000+58800k-196k^{2}-39200k=0$$

Slå ihop 58800k och -39200k för att få 19600k.

$$-98000+19600k-196k^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-196k^{2}+19600k-98000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -196, b med 19600 och c med -98000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-19600±\sqrt{19600^{2}-4\left(-196\right)\left(-98000\right)}}{2\left(-196\right)}$$

Kvadrera 19600.

$$k=\frac{-19600±\sqrt{384160000-4\left(-196\right)\left(-98000\right)}}{2\left(-196\right)}$$

Multiplicera -4 med -196.

$$k=\frac{-19600±\sqrt{384160000+784\left(-98000\right)}}{2\left(-196\right)}$$

Multiplicera 784 med -98000.

$$k=\frac{-19600±\sqrt{384160000-76832000}}{2\left(-196\right)}$$

Addera 384160000 till -76832000.

$$k=\frac{-19600±\sqrt{307328000}}{2\left(-196\right)}$$

Dra kvadratroten ur 307328000.

$$k=\frac{-19600±7840\sqrt{5}}{2\left(-196\right)}$$

Multiplicera 2 med -196.

$$k=\frac{-19600±7840\sqrt{5}}{-392}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-19600±7840\sqrt{5}}{-392} när ± är plus. Addera -19600 till 7840\sqrt{5}.

$$k=\frac{7840\sqrt{5}-19600}{-392}$$

Dela -19600+7840\sqrt{5} med -392.

$$k=50-20\sqrt{5}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-19600±7840\sqrt{5}}{-392} när ± är minus. Subtrahera 7840\sqrt{5} från -19600.

$$k=\frac{-7840\sqrt{5}-19600}{-392}$$

Dela -19600-7840\sqrt{5} med -392.

$$k=20\sqrt{5}+50$$

Ekvationen har lösts.

$$k=50-20\sqrt{5} k=20\sqrt{5}+50$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(-700-42k\right)^{2}.

$$490000+58800k+1764k^{2}-4\times 490\left(300+k^{2}+20k\right)=0$$

Multiplicera 4 och 490 för att få 1960.

$$490000+58800k+1764k^{2}-1960\left(300+k^{2}+20k\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -1960 med 300+k^{2}+20k.

$$490000+58800k+1764k^{2}-588000-1960k^{2}-39200k=0$$

Subtrahera 588000 från 490000 för att få -98000.

$$-98000+58800k+1764k^{2}-1960k^{2}-39200k=0$$

Slå ihop 1764k^{2} och -1960k^{2} för att få -196k^{2}.

$$-98000+58800k-196k^{2}-39200k=0$$

Slå ihop 58800k och -39200k för att få 19600k.

$$-98000+19600k-196k^{2}=0$$

Lägg till 98000 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$19600k-196k^{2}=98000$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-196k^{2}+19600k=98000$$

Dividera båda led med -196.

$$\frac{-196k^{2}+19600k}{-196}=\frac{98000}{-196}$$

Division med -196 tar ut multiplikationen med -196.

$$k^{2}+\frac{19600}{-196}k=\frac{98000}{-196}$$

Dela 19600 med -196.

$$k^{2}-100k=\frac{98000}{-196}$$

Dela 98000 med -196.

$$k^{2}-100k=-500$$

Dividera -100, koefficienten för termen x, med 2 för att få -50. Addera sedan kvadraten av -50 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$k^{2}-100k+\left(-50\right)^{2}=-500+\left(-50\right)^{2}$$

Kvadrera -50.

$$k^{2}-100k+2500=-500+2500$$

Addera -500 till 2500.

$$k^{2}-100k+2500=2000$$

Faktorisera k^{2}-100k+2500. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(k-50\right)^{2}=2000$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(k-50\right)^{2}}=\sqrt{2000}$$

Förenkla.

$$k-50=20\sqrt{5} k-50=-20\sqrt{5}$$

Addera 50 till båda ekvationsled.

$$k=20\sqrt{5}+50 k=50-20\sqrt{5}$$