Lös (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Subtrahera 8 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Subtraktion av 8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Subtrahera 8 från 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -5 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Addera 25 till 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 5 till 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{5} från 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Subtrahera 3 från 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Addera 5 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$