Lös (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Beräkna

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Lösningssteg

Överväg \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{5} är 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Subtrahera 3 från 5 för att få 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadraten av \sqrt{6} är 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Faktorisera 6=2\times 3. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{2\times 3} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplicera \sqrt{2} och \sqrt{2} för att få 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplicera 2 och 2 för att få 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Addera 6 och 2 för att få 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Hitta motsatsen till 8+4\sqrt{3} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Subtrahera 8 från 2 för att få -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$