Lös (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

Beräkna

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Om du vill multiplicera \sqrt{2} och \sqrt{5} multiplicerar du numren under kvadratroten.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kvadraten av \sqrt{5} är 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Addera 2 och 5 för att få 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kvadraten av \sqrt{10} är 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Addera 4 och 10 för att få 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Hitta motsatsen till 14+4\sqrt{10} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Subtrahera 14 från 7 för att få -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Slå ihop 2\sqrt{10} och -4\sqrt{10} för att få -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Faktorisera 90=3^{2}\times 10. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{3^{2}\times 10} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Dra kvadratroten ur 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Slå ihop -2\sqrt{10} och 3\sqrt{10} för att få \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Överväg \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Utveckla \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Multiplicera 4 och 2 för att få 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Subtrahera 1 från 8 för att få 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Addera -7 och 7 för att få 0.

$$\sqrt{10}$$