Lös z^2-z+2=0

$${ z }^{ 2 } -z+2=0$$

Lös ut z

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}\approx 0,5+1,322875656i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-1,322875656i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z^{2}-z+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2}}{2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2}$$

Addera 1 till -8.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -7.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{7}i}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{1±\sqrt{7}i}{2} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{7}.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{1±\sqrt{7}i}{2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{7} från 1.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2} z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-z+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$z^{2}-z+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$z^{2}-z=-2$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Addera -2 till \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktorisera z^{2}-z+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2} z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$