Lös y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Lös ut y

$$y=6$$

$$y=9$$

Steg med faktorisering

Lägg till 54 på båda sidorna.

$$y^{2}-15y+54=0$$

För att lösa ekvationen, faktor y^{2}-15y+54 med hjälp av formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-15 ab=54$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Lösningen är det par som ger Summa -15.

$$a=-9 b=-6$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(y+a\right)\left(y+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Lös y-9=0 och y-6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=9 y=6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lägg till 54 på båda sidorna.

$$y^{2}-15y+54=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som y^{2}+ay+by+54. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Lösningen är det par som ger Summa -15.

$$a=-9 b=-6$$

Skriv om y^{2}-15y+54 som \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Utfaktor y i den första och den -6 i den andra gruppen.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen y-9 genom att använda distributivitet.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Lös y-9=0 och y-6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=9 y=6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$y^{2}-15y=-54$$

Addera 54 till båda ekvationsled.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Subtraktion av -54 från sig självt ger 0 som resultat.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Subtrahera -54 från 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -15 och c med 54 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Kvadrera -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplicera -4 med 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Addera 225 till -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{15±3}{2} när ± är plus. Addera 15 till 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Dela 18 med 2.

$$y=9$$

Lös nu ekvationen y=\frac{15±3}{2} när ± är minus. Subtrahera 3 från 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dela 12 med 2.

$$y=6$$

Ekvationen har lösts.

$$y=9 y=6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dividera -15, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Addera -54 till \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera y^{2}-15y+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addera \frac{15}{2} till båda ekvationsled.

$$y=9 y=6$$