Lös x^2-x-1=16180

$${ x }^{ 2 } -x-1=16180$$

Lös ut x

$$x = \frac{5 \sqrt{2589} + 1}{2} \approx 127,705542332$$

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}\approx -126,705542332$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Subtrahera 16180 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-x-1-16180=16180-16180$$

Subtraktion av 16180 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-x-1-16180=0$$

Subtrahera 16180 från -1.

$$x^{2}-x-16181=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med -16181 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-16181\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -16181.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+64724}}{2}$$

Addera 1 till 64724.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{64725}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 64725.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5\sqrt{2589}}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} när ± är plus. Addera 1 till 5\sqrt{2589}.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} när ± är minus. Subtrahera 5\sqrt{2589} från 1.

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=16180-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-x=16180-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 16180.

$$x^{2}-x=16181$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=16181+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=16181+\frac{1}{4}$$

Addera 16181 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{64725}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{64725}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64725}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{2589}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{2589}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$