Lös x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -1 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} och x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} måste båda vara negativ eller både positiv. Behandla ärendet när x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} och x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} är negativt.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Behandla ärendet när x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} och x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} är båda positiva.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$