Lös x^2-x+1=0

$${ x }^{ 2 } -x+1=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

Addera 1 till -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{3} från 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-x=-1$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Addera -1 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$