Lös x^2-6x-11=4

$${ x }^{ 2 } -6x-11=4$$

Lös ut x

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-6x-11-4=4-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-6x-11-4=0$$

Subtrahera 4 från -11.

$$x^{2}-6x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -6 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-15\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+60}}{2}$$

Addera 36 till 60.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{96}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 96.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{6}}{2}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2} när ± är plus. Addera 6 till 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+6}{2}$$

Dela 6+4\sqrt{6} med 2.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{6} från 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{6}}{2}$$

Dela 6-4\sqrt{6} med 2.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-6x-11-\left(-11\right)=4-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-6x=4-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 4.

$$x^{2}-6x=15$$

Dividera -6, koefficienten för termen x, med 2 för att få -3. Addera sedan kvadraten av -3 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrera -3.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Addera 15 till 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Faktorisera x^{2}-6x+9. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Förenkla.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$