Lös x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -6 och c med 11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Multiplicera -4 med 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Addera 36 till -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} när ± är plus. Addera 6 till 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dela 6+2i\sqrt{2} med 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{2} från 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Dela 6-2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Subtrahera 11 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Subtraktion av 11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-6x=-11$$

Dividera -6, koefficienten för termen x, med 2 för att få -3. Addera sedan kvadraten av -3 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrera -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Addera -11 till 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktorisera x^{2}-6x+9. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Förenkla.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$