Lös x^2-4x-5=2

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 2$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{11}+2\approx 5,31662479$$

$$x=2-\sqrt{11}\approx -1,31662479$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-4x-5-2=2-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-4x-5-2=0$$

Subtrahera 2 från -5.

$$x^{2}-4x-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -4 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+28}}{2}$$

Addera 16 till 28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{44}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 44.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{11}}{2}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} när ± är plus. Addera 4 till 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+4}{2}$$

Dela 4+2\sqrt{11} med 2.

$$x=\sqrt{11}+2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{11} från 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{11}}{2}$$

Dela 4-2\sqrt{11} med 2.

$$x=2-\sqrt{11}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=2-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-4x=2-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 2.

$$x^{2}-4x=7$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=7+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=7+4$$

Addera 7 till 4.

$$x^{2}-4x+4=11$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=11$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Förenkla.

$$x-2=\sqrt{11} x-2=-\sqrt{11}$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$