Lös x^2-4x+9=0

$${ x }^{ 2 } -4x+9=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=2+\sqrt{5}i\approx 2+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+2\approx 2-2,236067977i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -4 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2}$$

Addera 16 till -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2} när ± är plus. Addera 4 till 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{2}$$

Dela 4+2i\sqrt{5} med 2.

$$x=2+\sqrt{5}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{5} från 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{2}$$

Dela 4-2i\sqrt{5} med 2.

$$x=-\sqrt{5}i+2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-4x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-4x=-9$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-9+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=-9+4$$

Addera -9 till 4.

$$x^{2}-4x+4=-5$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-5$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Förenkla.

$$x-2=\sqrt{5}i x-2=-\sqrt{5}i$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$