Lös x^2-3x+1=0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -3 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Addera 9 till -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 3 till \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{5} från 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-3x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-3x=-1$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Addera -1 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$