Lös x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -3 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} och x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} är positivt och x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} är negativt.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} är positivt och x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} är negativt.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$