Lös x^2-2x-3leq0

$${ x }^{ 2 } -2x-3 \leq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -2 med b och -3 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{2±4}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=3 x=-1$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-3 och x+1 ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-3\geq 0 och x+1\leq 0.

$$x-3\geq 0 x+1\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-3\leq 0 och x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-3\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[-1,3\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$