Lös x^2-12x-5=-22

$${ x }^{ 2 } -12x-5=-22$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{19}+6\approx 10,358898944$$

$$x=6-\sqrt{19}\approx 1,641101056$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Addera 22 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Subtraktion av -22 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=0$$

Subtrahera -22 från -5.

$$x^{2}-12x+17=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -12 och c med 17 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 17}}{2}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 17}}{2}$$

Multiplicera -4 med 17.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-68}}{2}$$

Addera 144 till -68.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{76}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 76.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{19}}{2}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} när ± är plus. Addera 12 till 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+12}{2}$$

Dela 12+2\sqrt{19} med 2.

$$x=\sqrt{19}+6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{19} från 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{19}}{2}$$

Dela 12-2\sqrt{19} med 2.

$$x=6-\sqrt{19}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-12x-5-\left(-5\right)=-22-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-12x=-22-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från -22.

$$x^{2}-12x=-17$$

Dividera -12, koefficienten för termen x, med 2 för att få -6. Addera sedan kvadraten av -6 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-17+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrera -6.

$$x^{2}-12x+36=-17+36$$

Addera -17 till 36.

$$x^{2}-12x+36=19$$

Faktorisera x^{2}-12x+36. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=19$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Förenkla.

$$x-6=\sqrt{19} x-6=-\sqrt{19}$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$