Lös x^2-10x+11=0

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8,741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1,258342613$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -10 och c med 11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kvadrera -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

Multiplicera -4 med 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

Addera 100 till -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} när ± är plus. Addera 10 till 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

Dela 10+2\sqrt{14} med 2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{14} från 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

Dela 10-2\sqrt{14} med 2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Subtrahera 11 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

Subtraktion av 11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-10x=-11$$

Dividera -10, koefficienten för termen x, med 2 för att få -5. Addera sedan kvadraten av -5 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrera -5.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

Addera -11 till 25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

Faktorisera x^{2}-10x+25. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Förenkla.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$