Lös x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 5 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Addera 25 till -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} när ± är plus. Addera -5 till i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{3} från -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Subtraktion av 7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}+5x=-7$$

Dividera 5, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Addera -7 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}+5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Subtrahera \frac{5}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$