Lös x^2+3x-9=0

$${ x }^{ 2 } +3x-9 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} - 3}{2} \approx 1,854101966$$

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\approx -4,854101966$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 3 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+36}}{2}$$

Addera 9 till 36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{45}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 45.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera -3 till 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{5} från -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$x^{2}+3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}+3x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$x^{2}+3x=9$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}$$

Addera 9 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$