Lös t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Lös ut t

$$t=9$$

$$t=100$$

Steg med faktorisering

Lös ekvationen genom att faktorisera t^{2}-109t+900 med hjälp av formeln t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-109 ab=900$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Lösningen är det par som ger Summa -109.

$$a=-100 b=-9$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(t+a\right)\left(t+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Lös t-100=0 och t-9=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=100 t=9$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som t^{2}+at+bt+900. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Lösningen är det par som ger Summa -109.

$$a=-100 b=-9$$

Skriv om t^{2}-109t+900 som \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Bryt ut t i den första och -9 i den andra gruppen.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen t-100 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Lös t-100=0 och t-9=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=100 t=9$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -109 och c med 900 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Kvadrera -109.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Multiplicera -4 med 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Addera 11881 till -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

Motsatsen till -109 är 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{109±91}{2} när ± är plus. Addera 109 till 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Dela 200 med 2.

$$t=100$$

Lös nu ekvationen t=\frac{109±91}{2} när ± är minus. Subtrahera 91 från 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Dela 18 med 2.

$$t=9$$

Ekvationen har lösts.

$$t=100 t=9$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Subtrahera 900 från båda ekvationsled.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Subtraktion av 900 från sig självt ger 0 som resultat.

$$t^{2}-109t=-900$$

Dividera -109, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{109}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{109}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{109}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Addera -900 till \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Faktorisera t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Addera \frac{109}{2} till båda ekvationsled.

$$t=100 t=9$$