Lös left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Lös ut x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Hitta motsatsen till x^{2}+22x+121 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Slå ihop x^{2} och -x^{2} för att få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Slå ihop 28x och -22x för att få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtrahera 121 från 196 för att få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Lägg till 12x på båda sidorna.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Slå ihop 6x och 12x för att få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtrahera 36 från båda led.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Subtrahera 36 från 75 för att få 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 18 och c med 39 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 324 till 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} när ± är plus. Addera -18 till 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dela -18+4\sqrt{30} med -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{30} från -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dela -18-4\sqrt{30} med -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Ekvationen har lösts.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Hitta motsatsen till x^{2}+22x+121 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Slå ihop x^{2} och -x^{2} för att få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Slå ihop 28x och -22x för att få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtrahera 121 från 196 för att få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Lägg till 12x på båda sidorna.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Slå ihop 6x och 12x för att få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtrahera 75 från båda led.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Subtrahera 75 från 36 för att få -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Dela 18 med -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Dela -39 med -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Dividera -18, koefficienten för termen x, med 2 för att få -9. Addera sedan kvadraten av -9 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrera -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Addera 39 till 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Faktorisera x^{2}-18x+81. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Förenkla.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$