Lös {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Beräkna

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Överväg \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrera \sqrt{3}. Kvadrera 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplicera \sqrt{3}+1 och \sqrt{3}+1 för att få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Addera 3 och 1 för att få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividera varje term av 4+2\sqrt{3} med 2 för att få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Addera 4 och 3 för att få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Utveckla

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Överväg \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrera \sqrt{3}. Kvadrera 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplicera \sqrt{3}+1 och \sqrt{3}+1 för att få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Addera 3 och 1 för att få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividera varje term av 4+2\sqrt{3} med 2 för att få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Addera 4 och 3 för att få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$