Lös sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x} upphöjt till 2 och få x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Lägg till 2x på båda sidorna.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Slå ihop x och 2x för att få 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Dela -3+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{5} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Dela -3-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ersätt x med \frac{3-\sqrt{5}}{2} i ekvationen \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Förenkla. Värdet x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med \frac{\sqrt{5}+3}{2} i ekvationen \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Förenkla. Värdet x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} uppfyller ekvationen.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Ekvations \sqrt{x}=x-1 har en unik lösning.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$