Lös sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Lös ut x

$$x=14$$

$$x=6$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x-3} upphöjt till 2 och få 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-5} upphöjt till 2 och få x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Subtrahera 5 från 4 för att få -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Subtrahera -1+x från båda ekvationsled.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Hitta motsatsen till -1+x genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Addera -3 och 1 för att få -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Slå ihop 2x och -x för att få x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utveckla \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beräkna 4 upphöjt till 2 och få 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-5} upphöjt till 2 och få x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 16 med x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Subtrahera 16x från båda led.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Slå ihop -4x och -16x för att få -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Lägg till 80 på båda sidorna.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Addera 4 och 80 för att få 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

För att lösa ekvationen, faktor x^{2}-20x+84 med hjälp av formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-20 ab=84$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Lösningen är det par som ger Summa -20.

$$a=-14 b=-6$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Lös x-14=0 och x-6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=14 x=6$$

Ersätt x med 14 i ekvationen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Förenkla. Värdet x=14 uppfyller ekvationen.

$$5=5$$

Ersätt x med 6 i ekvationen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Förenkla. Värdet x=6 uppfyller ekvationen.

$$3=3$$

Lista alla lösningar på \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$