Lös sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Lös ut x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minsta gemensamma multipel av 2 och 4 är 4. Konvertera \frac{1}{2} och \frac{1}{4} till bråktal med nämnaren 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Eftersom \frac{2}{4} och \frac{1}{4} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addera 2 och 1 för att få 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minsta gemensamma multipel av 4 och 8 är 8. Konvertera \frac{3}{4} och \frac{1}{8} till bråktal med nämnaren 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Eftersom \frac{6}{8} och \frac{1}{8} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addera 6 och 1 för att få 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minsta gemensamma multipel av 8 och 16 är 16. Konvertera \frac{7}{8} och \frac{1}{16} till bråktal med nämnaren 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Eftersom \frac{14}{16} och \frac{1}{16} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addera 14 och 1 för att få 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Beräkna \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} upphöjt till 2 och få \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med \frac{1}{2} och c med \frac{15}{16} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Addera \frac{1}{4} till \frac{15}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} när ± är plus. Addera -\frac{1}{2} till 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Dela \frac{3}{2} med -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} när ± är minus. Subtrahera 2 från -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Dela -\frac{5}{2} med -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Ersätt x med -\frac{3}{4} i ekvationen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Förenkla. Värdet x=-\frac{3}{4} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ersätt x med \frac{5}{4} i ekvationen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{5}{4} uppfyller ekvationen.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Ekvations \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x har en unik lösning.

$$x=\frac{5}{4}$$