Lös sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Lös ut x

$$x=3$$

Lösningssteg

Subtrahera \sqrt{2x-2} från båda ekvationsled.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-3} upphöjt till 2 och få x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x-2} upphöjt till 2 och få 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Subtrahera 2 från 4 för att få 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Subtrahera 2+2x från båda ekvationsled.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Hitta motsatsen till 2+2x genom att hitta motsatsen till varje term.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Subtrahera 2 från -3 för att få -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Slå ihop x och -2x för att få -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utveckla \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Beräkna -4 upphöjt till 2 och få 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x-2} upphöjt till 2 och få 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 16 med 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Subtrahera 32x från båda led.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Slå ihop 10x och -32x för att få -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Lägg till 32 på båda sidorna.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Addera 25 och 32 för att få 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

För att lösa ekvationen, faktor x^{2}-22x+57 med hjälp av formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-22 ab=57$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Lösningen är det par som ger Summa -22.

$$a=-19 b=-3$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Lös x-19=0 och x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=19 x=3$$

Ersätt x med 19 i ekvationen \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Förenkla. Värdet x=19 uppfyller inte ekvationen.

$$10=2$$

Ersätt x med 3 i ekvationen \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Förenkla. Värdet x=3 uppfyller ekvationen.

$$2=2$$

Ekvations \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 har en unik lösning.

$$x=3$$