Lös sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-1} upphöjt till 2 och få x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Addera -1 och 4 för att få 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Utveckla \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x+3} upphöjt till 2 och få x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4 med x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Subtrahera x+3 från båda ekvationsled.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Hitta motsatsen till x+3 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Slå ihop 4x och -x för att få 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Subtrahera 3 från 12 för att få 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Utveckla \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Beräkna -4 upphöjt till 2 och få 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-1} upphöjt till 2 och få x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 16 med x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Subtrahera 9x^{2} från båda led.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Subtrahera 54x från båda led.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Slå ihop 16x och -54x för att få -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Subtrahera 81 från båda led.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Subtrahera 81 från -16 för att få -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -9, b med -38 och c med -97 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrera -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 36 med -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Addera 1444 till -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Dra kvadratroten ur -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Motsatsen till -38 är 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 2 med -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} när ± är plus. Addera 38 till 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Dela 38+32i\sqrt{2} med -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} när ± är minus. Subtrahera 32i\sqrt{2} från 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Dela 38-32i\sqrt{2} med -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ersätt x med \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} i ekvationen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} uppfyller ekvationen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} i ekvationen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} uppfyller inte ekvationen.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} i ekvationen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} uppfyller ekvationen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ekvations \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} har en unik lösning.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$