Lös sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}-1} upphöjt till 2 och få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x+1} upphöjt till 2 och få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtrahera 2x från båda led.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtrahera 1 från -1 för att få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -2 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Addera 4 till 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dela 2+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dela 2-2\sqrt{3} med 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ersätt x med \sqrt{3}+1 i ekvationen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Förenkla. Värdet x=\sqrt{3}+1 uppfyller ekvationen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med 1-\sqrt{3} i ekvationen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Förenkla. Värdet x=1-\sqrt{3} uppfyller ekvationen.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Lista alla lösningar på \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}-1} upphöjt till 2 och få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x+1} upphöjt till 2 och få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtrahera 2x från båda led.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtrahera 1 från -1 för att få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -2 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Addera 4 till 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dela 2+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dela 2-2\sqrt{3} med 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ersätt x med \sqrt{3}+1 i ekvationen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Förenkla. Värdet x=\sqrt{3}+1 uppfyller ekvationen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med 1-\sqrt{3} i ekvationen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Uttrycket \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} är odefinierat eftersom radicand inte kan vara negativt.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Ekvations \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} har en unik lösning.

$$x=\sqrt{3}+1$$