Lös sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Lösningssteg

Subtrahera -\sqrt{15+x^{2}} från båda ekvationsled.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{25-x^{2}} upphöjt till 2 och få 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{15+x^{2}} upphöjt till 2 och få 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Addera 16 och 15 för att få 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Subtrahera 31+x^{2} från båda ekvationsled.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Hitta motsatsen till 31+x^{2} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Subtrahera 31 från 25 för att få -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Slå ihop -x^{2} och -x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 2 och 2 för att få 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utveckla \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna 8 upphöjt till 2 och få 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{15+x^{2}} upphöjt till 2 och få 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 64 med 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Subtrahera 960 från båda led.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Subtrahera 960 från 36 för att få -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Subtrahera 64x^{2} från båda led.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Slå ihop 24x^{2} och -64x^{2} för att få -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Ersätt x^{2} med t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 4 med a, -40 med b och -924 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Lös ekvationen t=\frac{40±128}{8} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=21 t=-11$$

Sedan x=t^{2} fås lösningarna genom att utvärdera x=±\sqrt{t} för varje t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Ersätt x med -\sqrt{21} i ekvationen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Förenkla. Värdet x=-\sqrt{21} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$-4=4$$

Ersätt x med \sqrt{21} i ekvationen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Förenkla. Värdet x=\sqrt{21} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$-4=4$$

Ersätt x med -\sqrt{11}i i ekvationen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Förenkla. Värdet x=-\sqrt{11}i uppfyller ekvationen.

$$4=4$$

Ersätt x med \sqrt{11}i i ekvationen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Förenkla. Värdet x=\sqrt{11}i uppfyller ekvationen.

$$4=4$$

Lista alla lösningar på \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$