Lös sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Lösningssteg

Subtrahera -3x+1 från båda ekvationsled.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Hitta motsatsen till -3x+1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Motsatsen till -3x är 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Slå ihop x och 3x för att få 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Subtrahera 1 från -1 för att få -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x+7} upphöjt till 2 och få 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Subtrahera 16x^{2} från båda led.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Lägg till 16x på båda sidorna.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Slå ihop 2x och 16x för att få 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Subtrahera 4 från båda led.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Subtrahera 4 från 7 för att få 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -16, b med 18 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrera 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera -4 med -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 64 med 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Addera 324 till 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Dra kvadratroten ur 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 2 med -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} när ± är plus. Addera -18 till 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Dela -18+2\sqrt{129} med -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{129} från -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Dela -18-2\sqrt{129} med -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ersätt x med \frac{9-\sqrt{129}}{16} i ekvationen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Förenkla. Värdet x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med \frac{\sqrt{129}+9}{16} i ekvationen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Förenkla. Värdet x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} uppfyller ekvationen.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Ekvations \sqrt{2x+7}=4x-2 har en unik lösning.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$