Lös sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Lösningssteg

Subtrahera -\sqrt{19-x^{2}} från båda ekvationsled.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{15+x^{2}} upphöjt till 2 och få 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{19-x^{2}} upphöjt till 2 och få 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Addera 4 och 19 för att få 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Subtrahera 23-x^{2} från båda ekvationsled.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Hitta motsatsen till 23-x^{2} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Subtrahera 23 från 15 för att få -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Slå ihop x^{2} och x^{2} för att få 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 2 och 2 för att få 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Utveckla \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna 4 upphöjt till 2 och få 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{19-x^{2}} upphöjt till 2 och få 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 16 med 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Subtrahera 304 från båda led.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Subtrahera 304 från 64 för att få -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Lägg till 16x^{2} på båda sidorna.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Slå ihop -32x^{2} och 16x^{2} för att få -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Ersätt x^{2} med t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 4 med a, -16 med b och -240 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Lös ekvationen t=\frac{16±64}{8} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=10 t=-6$$

Sedan x=t^{2} fås lösningarna genom att utvärdera x=±\sqrt{t} för positiva t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Ersätt x med \sqrt{10} i ekvationen \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Förenkla. Värdet x=\sqrt{10} uppfyller ekvationen.

$$2=2$$

Ersätt x med -\sqrt{10} i ekvationen \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Förenkla. Värdet x=-\sqrt{10} uppfyller ekvationen.

$$2=2$$

Lista alla lösningar på \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$