Lös sin(x2)

$$\sin ( x2 )$$

Derivera m.a.p. x_2

$$\cos(x_{2})$$

Steg med definitionen av derivata

För en funktion, f\left(x\right), är derivatan gränsvärdet för \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} då h går mot 0, om gränsvärdet existerar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_{2}}(\sin(x_{2}))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x_{2}+h)-\sin(x_{2})}{h}\right)$$

Använd additionsformeln för sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x_{2}+h)-\sin(x_{2})}{h}$$

Bryt ut \sin(x_{2}).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x_{2})\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x_{2})\sin(h)}{h}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x_{2})\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x_{2})\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Använd det faktum att x_{2} är en konstant vid beräkning av gränsvärden när h går mot 0.

$$\sin(x_{2})\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x_{2})\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{x_{2}\to 0}\frac{\sin(x_{2})}{x_{2}} är 1.

$$\sin(x_{2})\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x_{2})$$

Du beräknar gränsvärdet \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} genom att först multiplicera täljare och nämnare med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicera \cos(h)+1 med \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Använd trigonometriska ettan.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{x_{2}\to 0}\frac{\sin(x_{2})}{x_{2}} är 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Använd det faktum att \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} är kontinuerlig vid 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sätt in värdet 0 i uttrycket \sin(x_{2})\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x_{2}).

$$\cos(x_{2})$$

Beräkna

$$\sin(x_{2})$$