Lös sinvarepsilon

$$\sin \varepsilon$$

Derivera m.a.p. ε

$$\cos(\epsilon )$$

Steg med definitionen av derivata

För en funktion, f\left(x\right), är derivatan gränsvärdet för \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} då h går mot 0, om gränsvärdet existerar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }(\sin(\epsilon ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\epsilon +h)-\sin(\epsilon )}{h}\right)$$

Använd additionsformeln för sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\epsilon )-\sin(\epsilon )}{h}$$

Bryt ut \sin(\epsilon ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\epsilon )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\epsilon )\sin(h)}{h}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\epsilon )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\epsilon )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Använd det faktum att \epsilon är en konstant vid beräkning av gränsvärden när h går mot 0.

$$\sin(\epsilon )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\epsilon )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{\epsilon \to 0}\frac{\sin(\epsilon )}{\epsilon } är 1.

$$\sin(\epsilon )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\epsilon )$$

Du beräknar gränsvärdet \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} genom att först multiplicera täljare och nämnare med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicera \cos(h)+1 med \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Använd trigonometriska ettan.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{\epsilon \to 0}\frac{\sin(\epsilon )}{\epsilon } är 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Använd det faktum att \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} är kontinuerlig vid 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sätt in värdet 0 i uttrycket \sin(\epsilon )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\epsilon ).

$$\cos(\epsilon )$$

Beräkna

$$\sin(\epsilon )$$