Lös {rrr}{2}&{-1}&{1}{1}&{1}&{1}{-1}&{1}&{5}

$$\left| \begin{array} { r r r } { 2 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right|$$

Beräkna

$$16$$

Steg med Sarrus regel

Beräkna matrisens determinant med hjälp av diagonalmetoden.

$$det(\left(\begin{matrix}2&-1&1\\1&1&1\\-1&1&5\end{matrix}\right))$$

Utveckla den ursprungliga matrisen genom att upprepa de första två kolumnerna som fjärde och femte kolumn.

$$\left(\begin{matrix}2&-1&1&2&-1\\1&1&1&1&1\\-1&1&5&-1&1\end{matrix}\right)$$

Börja med det översta vänstra elementet, multiplicera nedåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$2\times 5-\left(-1\right)+1=12$$

Börja med det nedersta vänstra elementet, multiplicera uppåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$-1+2+5\left(-1\right)=-4$$

Subtrahera summan av de uppåtgående diagonalprodukterna från summan av de nedåtgående diagonalprodukterna.

$$12-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 12.

$$16$$

Steg med utveckling av deldeterminanter

Beräkna matrisens determinant med hjälp av metoden för utveckling av deldeterminanter (kallas även för utveckling av kofaktorer).

$$det(\left(\begin{matrix}2&-1&1\\1&1&1\\-1&1&5\end{matrix}\right))$$

För utveckling av deldeterminanter multiplicerar du varje element i den första raden med dess deldeterminant, d.v.s. determinanten för den 2\times 2-matris som skapas genom att ta bort raden och kolumnen som innehåller elementet, och multiplicerar sedan med tecknet för elementets plats.

$$2det(\left(\begin{matrix}1&1\\1&5\end{matrix}\right))-\left(-det(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&5\end{matrix}\right))\right)+det(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))$$

För den 2\times 2 matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är determinanten ad-bc.

$$2\left(5-1\right)-\left(-\left(5-\left(-1\right)\right)\right)+1-\left(-1\right)$$

Förenkla.

$$2\times 4-\left(-6\right)+2$$

Addera termerna för att få slutresultatet.

$$16$$

Faktorisera

$$2^{4}$$