Lös {lll}{1}&{1}&{2}{2}&{1}&{2}{3}&{2}&{1}

$$\left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right|$$

Beräkna

$$3$$

Steg med Sarrus regel

Beräkna matrisens determinant med hjälp av diagonalmetoden.

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&2\\2&1&2\\3&2&1\end{matrix}\right))$$

Utveckla den ursprungliga matrisen genom att upprepa de första två kolumnerna som fjärde och femte kolumn.

$$\left(\begin{matrix}1&1&2&1&1\\2&1&2&2&1\\3&2&1&3&2\end{matrix}\right)$$

Börja med det översta vänstra elementet, multiplicera nedåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$1+2\times 3+2\times 2\times 2=15$$

Börja med det nedersta vänstra elementet, multiplicera uppåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$3\times 2+2\times 2+2=12$$

Subtrahera summan av de uppåtgående diagonalprodukterna från summan av de nedåtgående diagonalprodukterna.

$$15-12$$

Subtrahera 12 från 15.

$$3$$

Steg med utveckling av deldeterminanter

Beräkna matrisens determinant med hjälp av metoden för utveckling av deldeterminanter (kallas även för utveckling av kofaktorer).

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&2\\2&1&2\\3&2&1\end{matrix}\right))$$

För utveckling av deldeterminanter multiplicerar du varje element i den första raden med dess deldeterminant, d.v.s. determinanten för den 2\times 2-matris som skapas genom att ta bort raden och kolumnen som innehåller elementet, och multiplicerar sedan med tecknet för elementets plats.

$$det(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}2&2\\3&1\end{matrix}\right))+2det(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))$$

För den 2\times 2 matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är determinanten ad-bc.

$$1-2\times 2-\left(2-3\times 2\right)+2\left(2\times 2-3\right)$$

Förenkla.

$$-3-\left(-4\right)+2$$

Addera termerna för att få slutresultatet.

$$3$$

Faktorisera

$$3$$